Senin, 07 November 2016

Analisis Nodal



ANALISIS JARINGAN DENGAN METODE LANGSUNG

  1. Analisis Nodal

            Analisis nodal berhubungan dengan sumber arus dan konduktansi. Persamaan nodal dituliskan dengan menggunakan Hukum Kirchoff arus. Analisis nodal dapat dipergunakan pada jaringan jika :
a.       Nilai-nilai tegangan diketahui.
b.      Terdapat dua atau lebih sumber energi.
c.       Sumber energi adalah merupakan sumber arus.
d.      Jumlah node yang bebas adalah lebih kecil daripada jumlah loop.
Langkah pertama pada analisis nodal adalah mengidentifikasi node-node. Node adalah junction atau titik hubung dari tiga atau lebih konduktor.
Gambar 4.4 Merupakan sebuah jaringan ∏ yang dihubungkan dengan dua buah sumber arus.


Gbr. 1.1 Pengidentifikasi node.

Pada rangkaian gambar 1.1, terdapat tiga buah node yang terpisah. Node A merupakan junction dari empat konduktor, hubungan bawah kedua sumber dan elemen.Node B merupakan junction dari tiga konduktor yang terhubung pada sumber arus ke elemen-elemen.
            Demikian juga halnya dengan node C. Node referensi dapat dipilih secara bebas, node manapun dapat dibuat sebagai node referensi.

Semua node –node selain node referensi disebut node-node independent. Jika line A dalam gambar 1.1 dipilih sebagai node referensi, titik B dan C adalah node-node independent. Tegangan pada node-node independent terhadap node referensi, adalah VB dan VC dalam gambar 1.2.

Gambar 1.2 Rangkaian gambar 1.1 dengan pengidentifikasian
arus dan tegangan

Untuk lebih memperjelas mengenai analisis nodal, arah arus diasumsikan dan polaritas elemen dapat ditunjukkan lihat Gambar 6.2.Jika asumsi telah dibuat, arah arus konsisten dengan polaritas tegangan ( + ke - atau - ke + ), hasilnya akan terlihat pada analisa.
“Jika hasilnya positif,berarti arahnya benar, jika hasilnya negatif berarti arah atau polaritasnya berlawanan dengan yang diasumsikan”.

Gambar 1.1 adalah sama dengan gambar 1.2, terkecuali ada penambahan arus,simbol,arah dan polaritas.Kondisi yang ada pada node-node independent dituliskan dalam persamaan. Persamaan-persamaan yang ada untuk node-node B dan C adalah sebagai berikut:
  • Pada Node B
Arus I G1 menuju ke node. Arus I 1 dan I 2 meninggalkan node. Persamaan untuk node B adalah:
I 1 + I 2 = I G1
Semua arus, kecuali  arus generator, sekarang diekspresikan dalam Hukum Ohm, I = V . G. Tegangan pada G 1 adalah V B – V C , sebab diasumsikan dari arah arus I 1 , kiri ke kanan sehingga V B lebih besar dari pada V C.
I 1 = V 1 G 2 = (VB – VC) G 1
I 2 = V 2 G 2 = V B G 2
Sehingga persamaan untuk node B adalah:
(VBVC)G1+VBG2=IG1..............................................................................(4.1)
  • Pada Node C
Arus I1 menuju ke node. Arus  generator  IG1 dan I3 meninggalkan node.
I3 = V3 G3 = Vc G3
Persamaan untuk node C adalah:
IG2+I3 = I1
IG2 + VCG3 = (VB-VC)G1
Atau
VC(G1+G3)–VBG1=IG2………………………………………………. (4.2)
Dengan menyelesaikan persamaan (4.1) dan (4.2) akan memberikan nilai-nilai VB dan VC, sehingga semua besaran-besaran lain rangkaian dapat dihitung.

Menulis Persamaan Node
Ada beberapa prosedur dalam penulisan persamaan untuk node. Istilah ‘local node’ digunakan pada node yang mana persamaan dituliskan. Istilah ‘Remote node’ merupakan node yang terhubung ke local node melalui konduktansi.

  • Elemen Arus
  1. Letakkan pada sisi kiri persamaan arus pada konduktansi.
  2. Kalikan tegangan local node ( terhadap referensi ) dengan jumlah konduktansi – konduktansi yang terhubung ke node. Hasilnya adalah positif. Abaikan elemen-elemen yang terhubung seri dengan sumber arus, karena tidak mempengaruhi arus rangkaian. 
  3. Kalikan masing-masing tegangan remote node dengan elemen konduktansi yang menghubungkannya ke local node. Hasilnya dalah negatif.
  • Sumber Arus 
  1. Letakkan sumber arus pada sisi kanan persamaan.
  2. Tentukan arus yang menuju local node adalah positif.
  3. Tentukan arus yang meninggalkan node adalah negatif.
  4. jika ada sumber arus pada local node, tentukan sebagai nol.

     Pada rangkaian gambar 1.3, jika titik (line) A merupakan node referensi, titik B,C,D dan E merupakan node-node independent. Persamaan nodenya adalah:
Node B                        : VB (G2 + G5) –VC G2
Node C                        : VC (G2 + G3) – VB G2 – VD G3
Node D                       : VD (G3 + G4 + G6) – VC G3 – VE G4
Node E                        : VE (G4 + G7) – VD G4

Jika pada rangkaian terdapat generator tegangan, hal ini harus dikonversikan ke generator arus yang  ekivalen.
                                  
                                                                              
Generator 1.4. (a) Generator Tegangan
(b) Generator arus

Arus Gambar 1.4. adalah ekivalen dengan generator tegangan dalam Gambar 6.8(a) jika :
1.      Resistansi internal Ri tiap-tiap generator adalah sama.
2.      Sumber arus I dari generator arus berhubungan dengan generator  tegangan E dengan persamaan:
Contoh:
1.      Berapa nilai masing-masing tegangan dan arus dalam gambar rangkaian dibawah ini.


penyelesaian :
  • Pada Node A


VA(G3+G2) - VBG2 = IG1
VA(0,2+0,1) - VB 0,1 = 5
0,3VA - 0,1VB =  5       .................(1)

  •   Pada Node B


VB(G2+G4) - VBG2 = IG2
VB(0,1+0,25) – VA 0,1 = 5
0,35VB - 0,1 VA =  5    ..................(2)
                        Substitusi Persamaan 1 dan 2
                        0,3VA - 0,1VB     =  5
                        0,35VB - 0,1 VA =  5

            Didapatkan nilai VA dan VB
                                VA = 28,95 V = V3
                        VB = 36,84 V = V4
            V2 = VB – VA = 36,84 – 28,95 =7,89 V
            I2 = V2G2 =7,89 x 0,1 = 0,789 A
            I3 = VAG3 = 28,95 x 0,2 = 5,79 A
            I4 = VBG4 = 36,84 x 0,25 = 9,21 A
            I1 = IG1 = 5A
 
                Hasil yang didapat sesuai dengan hukum kirchoff  pada ketiga node (arus masuk sama dengan arus keluar).
            Node A           : I2G2 + I2 = I3
                                                5 A + 0,789 A = 5,79 A
            Node B           : IG2 =I2  + I3
                                                10 A =  0,789 A + 9,21 A
            Node Referensi : I3 + I4 =  IG1 + IG2
                                                5,789A + 9,21 A = 5 A + 10 A

2.      Hitung tegangan V2 dalam rangkaian dibawah ini
 


Penyelesaian :
Konversikan Baterai ke ekivalen generator arus, dengan R1 sebagai resistansi internal seri baterai.

Gambarkan kembali dengan semua nilai resistansi yang diubah ke konduktansi,kecuali R3, karena elemen ini terhubung seri ke generator arus.

Persamaan-persamaan nodenya :
            VA(0,1 + 0,25 + 0,05) – VB(0,05) = 1 A
            VB(0,1 + 0,25 + 0,05) – VA (0,05) = -2 A
Reduksi persamaan agar lebih sederhana
            0,4 VA = 0,05 VB = 1
            -0,05 VA  + 0,175 VB = -2
Hasil yang didapat
            VA = 1,11 V
            VB = -11,1 V
Dari hasil ini berarti bahwa tegangan pada ujung R2 terhadap node referensi